【高校物理】コンデンサーの解き方で1番わかりやすい方法を徹底解説！

コンデンサーの極板に着目した問題で使う公式

①：$C=\Large{\varepsilon \frac{S}{d}}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\Large{\frac{S}{d}}$

②：$Q=CV$

③：$E=\Large{\frac{\varepsilon S}{Q}}=\Large{\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}S}{Q}}$

④：$V=Ed$

《極板に着目した問題の解法》

Step1：$C=\Large{\varepsilon \frac{S}{d}}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\Large{\frac{S}{d}}$を用いて電気容量を求めよう。

Step2：スイッチが開いているのか、閉じているのかを確認しよう。

<パターン①>スイッチが開いたままの変化

⇒電気量$Q$が一定。

<パターン②>スイッチが閉じたまま

⇒極板間電圧$V$が一定。

Step3：極板間の電場を求める。

<パターン①>スイッチが開いたままの変化

⇒電気量$Q$が一定なので$E=\Large{\frac{\varepsilon S}{Q}}=\Large{\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}S}{Q}}$を用いる。

<パターン②>スイッチが閉じたまま

⇒極板間電圧$V$が一定なので$V=Ed$を用いる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_{0}$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、スイッチを開き（図２）、極板間隔を$d$から$2d$に広げた（図３）。次の問いに答えよ。

（１）図３において、コンデンサーの電気容量$C_{1}$を$C_{0}$を用いて求めよ。

（２）図３において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_{1}$を$C_{0}$、$V$を用いて求めよ。

（３）図３において、コンデンサーの極板間電圧$V_{1}$を$V$を用いて求めよ。

（４）図３において、コンデンサーの極板間電場$E_{1}$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図２の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると、$$C_{0}=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$$となる。図２の電気量、電場をそれぞれ$Q_{0}$、$E_{0}$とすると、$$Q_{0}=C_{0}V$$ $$E_{0}=\frac{V}{d}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}S}$$となる

（１）$C=\varepsilon \frac{S}{d}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$より、$$C_{1}=\varepsilon_{0}\frac{S}{2d}=\underline{\frac{C_{0}}{2}}$$

（２）スイッチが開かれているので、コンデンサーに蓄えられた電気量は保存されるため、$Q_{0}$のままである。よって、$Q_{1}=Q_{0}=\underline{C_{0}V}$

（３）コンデンサーの電荷が$Q_{0}$で一定なので$Q=CV$を用いて、$$Q_{0}=C_{1}V_{1}=C_{0}V$$

$$\therefore V_{1}=\frac{C_{0}}{C_{1}}V=\underline{2V}$$となる。

（４）コンデンサーの電荷が$Q_{0}$で一定で、極板間の誘電率も$\varepsilon_{0}$で一定なので、$E=\frac{Q}{\varepsilon S}$より、電場$E_{1}$は$E_{0}$に等しい。よって、$$ E_{1}=E_{0}=\underline{\frac{V}{d}}$$

となる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_{0}$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、図２のように極板間隔を$d$から$2d$に広げた。次の問いに答えよ。

（１）図２において、コンデンサーの電気容量$C_{2}$を$C_{0}$を用いて求めよ。

（２）図２において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_{2}$を$C_{0}$、$V$を用いて求めよ。

（３）図２において、コンデンサーの極板間電圧$V_{2}$を$V$を用いて求めよ。

（４）図２において、コンデンサーの極板間電場$E_{2}$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図１の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると、$$C_{0}=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$$となる。図１の電気量、電場をそれぞれ$Q_{0}$、$E_{0}$とすると、$$Q_{0}=C_{0}V$$ $$E_{0}=\frac{V}{d}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}S}$$となる。

（１）$C=\varepsilon \frac{S}{d}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$より、$$C_{2}=\varepsilon_{0}\frac{S}{2d}=\underline{\frac{C_{0}}{2}}$$

（２）スイッチが閉じているので、コンデンサーにかかる電圧は$V$で一定のままである。よって、$Q_{2}=C_{2}V_{2}=\underline{\frac{1}{2}C_{0}}V$

（３）スイッチが閉じたままなので、コンデンサーの極板間の電圧は変化しない。よって、$$V_{2}=\underline{V}$$となる。

（４）コンデンサーの極板間電圧が$V$で変化しないので、$V=Ed$を用いると、$$E_{2}=\underline{\frac{V}{2d}}$$となる。

【（４）の別解】

$E=\frac{\varepsilon_{0}S}{Q}$より$$E_{2}=\frac{Q_{2}}{\varepsilon_{0}S}$$となるので、$Q_{2}$と$C_{0}=\varepsilon_{0} \frac{S}{d}$を用いて、$$ E_{2}=\frac{\frac{1}{2}C_{0}V}{C_{0}d}=\underline{\frac{V}{2d}}$$とすることもできる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_{0}$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、スイッチを開き（図２）、極板間に比誘電率が$\varepsilon_{\mathrm{r}}$の誘電体を満たした（図３）。次の問いに答えよ。

（１）図３において、コンデンサーの電気容量$ C_{3}$を$C_{0}$を用いて求めよ。

（２）図３において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_{3}$を$C_{0}$、$V$を用いて求めよ。

（３）図３において、コンデンサーの極板間電圧$V_{3}$を$V$を用いて求めよ。

（４）図３において、コンデンサーの極板間電場$E_{3}$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図２の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると、$$C_{0}=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$$となる。図２の電気量、電場をそれぞれ$Q_{0}$、$E_{0}$とすると、$$Q_{0}=C_{0}V$$ $$E_{0}=\frac{V}{d}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}S}$$となる

（１）$C=\varepsilon \frac{S}{d}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$より、$$C_{3}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}=\underline{\varepsilon_{\mathrm{r}}C_{0}}$$

（２）スイッチが開かれているので、コンデンサーに蓄えられた電気量は保存されるため、$Q_{0}$のままである。よって、$Q_{3}=Q_{0}=\underline{C_{0}V}$

（３）コンデンサーの電荷が$Q_{0}$で一定なので$Q=CV$を用いて、$$Q_{0}= C_{3}V_{3}=C_{0}V$$ $$\therefore V_{3}=\frac{C_{0}}{ C_{3}}V=\underline{\frac{V}{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}$$となる。

（４）コンデンサーの電荷が$Q_{0}$で一定で、極板間の誘電率は$\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}$となるので、$E=\frac{Q}{\varepsilon S}$より、$$ E_{3}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{r} }\varepsilon_{0} S}{Q_{0}}=\frac{E_{0}}{\varepsilon_{\mathrm{r}}}=\underline{\frac{V}{\varepsilon_{\mathrm{r}} d}}$$

となる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_{0}$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、極板間に比誘電率が$\varepsilon_{\mathrm{r}}$の誘電体を満たした（図３）。次の問いに答えよ。

（１）図２において、コンデンサーの電気容量$C_{4}$を$C_{0}$を用いて求めよ。

（２）図２において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_{4}$を$C_{0}$、$V$を用いて求めよ。

（３）図２において、コンデンサーの極板間電圧$V_{4}$を$V$を用いて求めよ。

（４）図２において、コンデンサーの極板間電場$E_{4}$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図１の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると、$$C_{0}=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$$となる。図１の電気量、電場をそれぞれ$Q_{0}$、$E_{0}$とすると、$$Q_{0}=C_{0}V$$ $$E_{0}=\frac{V}{d}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}S}$$となる。

（１）$C=\varepsilon \frac{S}{d}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$より、$$C_{4}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}=\underline{\varepsilon_{\mathrm{r}}C_{0}}$$

（２）スイッチが閉じているので、コンデンサーにかかる電圧は$V$で一定のままである。よって、$Q_{4}=C_{4}V_{4}=\underline{\varepsilon_{\mathrm{r}} C_{0}V}$

（３）スイッチが閉じたままなので、コンデンサーの極板間の電圧は変化しない。よって、$$V_{4}=\underline{V}$$となる。

（４）コンデンサーの極板間電圧が$V$で変化しないので、$V=Ed$を用いると、$$E_{4}=\underline{\frac{V}{d}}$$となる。

【（４）の別解】

$E=\frac{\varepsilon_{0}S}{Q}$より$$E_{4}=\frac{Q_{4}}{\varepsilon_{\mathrm{r}} \varepsilon_{0}S}$$となるので、$Q_{4}$と$ C_{0}=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$を用いて、$$ E_{4}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} C_{0}V }{\varepsilon_{\mathrm{r}} C_{0}d}=\underline{\frac{V}{d}}$$として求めることもできる。

《キルヒホッフの第２法則》

着目した閉回路において（起電力の和）＝（電圧の和）が成り立つ。

《約束①》電池の起電力は電圧が上がる向きを正とする。

《約束②》抵抗やコンデンサーは電圧が下がる向きを正とする。

《使い方》

Step①：回路に電流をテキトーに設定する。

Step②：抵抗には①で決めた電流の向きに電圧の矢印を書き、コンデンサーには正電荷から負電荷の向きに電圧の矢印を書く。

Step③：①の閉回路を回る向きを決め、その向きと同じ向きの電池を正、逆向きん電池を負として左辺に起電力の和を書き、抵抗やコンデンサーも閉回路を回る向きに対して同じ電圧の矢印を正、逆向きを負として電圧の和を書く。

《具体例①》

上図のように起電力が$E_{1}$と$E_{2}$の電池と抵抗値が$R_{1}$、$R_{2}$、$R_{3}$の抵抗を導線で接続した。このとき、各抵抗を流れる電流をStep①～③に沿って求めてみよう。

Step①：上図のように電流$I_{1}$～$I_{3}$をテキトーに設定します。本当にテキトーでいいです(笑)

Step②：抵抗にかかる電圧の矢印は、①で決めた電流の方向に設定する。

Step③：閉回路を決め、キルヒホッフの第２法則の式を立てる。

閉回路abefa：$+E_{1}-E_{2}=+R_{1}I_{1}+R_{2}I_{2}$

閉回路ebcde:$+E_{2}=-R_{2}I_{2}+R_{3}I_{3}$

閉回路acdfa:$+E_{1}=+R_{1}I_{1}+R_{3}I_{3}$

《具体例②》

上図のように起電力が$E_{1}$と$E_{2}$の電池と抵抗値が$R_{1}$、$R_{2}$、$R_{3}$の抵抗、電気容量$C$のコンデンサーを導線で接続して十分時間がたった。このとき、各抵抗を流れる電流をStep①～③に沿って求めてみよう。

まず前提として、十分時間がたつとコンデンサーに電流は流れないので、$R_{3}$に流れる電流は０になります。

よって、電流が流れるのは閉回路abefaだけです。

Step①：上図のように電流$I_{1}$をテキトーに設定します。

Step②：抵抗にかかる電圧の矢印は、①で決めた電流の方向に設定する。また、コンデンサーには左側の極板に正電荷、右側の極板に負電荷が蓄えられるので、cからdの向きに電圧の矢印を書きます。

Step③：閉回路を決め、キルヒホッフの第２法則の式を立てる。

閉回路abefa：$+E_{1}-E_{2}=+R_{1}I_{1}+R_{2}I_{1}$

閉回路ebcde:$+E_{2}=-R_{2}I_{1}+V$

閉回路acdfa:$+E_{1}=+R_{1}I_{1}+V$

（Ⅰ）：スイッチSを閉じた直後はコンデンサーの電荷は０なので、コンデンサーの電圧も０です。よって、回路には時計回りに、$$I_{0}=\frac{V}{R}$$となる電流が流れ、コンデンサーの上の極板に正電荷, 下の極板に負電荷が溜まり始めます。（このとき, コンデンサーの下の極板から正電荷が移動したので, 下の極板は負に帯電し, 上の極板には正電荷が回ってくるので, 正に帯電すると考えればいいです。）

（Ⅱ）：コンデンサーに電荷が溜まってくると、コンデンサーの極板間に電圧が生じます。ただし、コンデンサーに蓄えられる電気量$q$が小さいとコンデンサーの極板間電圧$v$も小さいです。ここで、点Cを電位0とすると、点Aの電位は$V$、Bの電位は$v$となります。よって、抵抗$R$には$V-v(>0)$の電圧がかかるため、回路にはまだ電流が流れています。このとき、キルヒホッフの第２法則の式は, $$V=RI+v$$となることがわかりますね。

そして、時間がたつと$q$が大きくなり、$Q=CV(v=V)$になったときに、抵抗の電圧が０になり、回路に流れる電流が０（定常状態）になります。これが（Ⅲ）の図です。

（Ⅰ）：コンデンサー２つに蓄えられている電気量は０なので、抵抗には電池の起電力に等しい電圧がかかっています。よって、このとき回路には時計回りに$I_{0}=\frac{V}{R}$の電流が流れています。

（Ⅱ）：正の電荷が時計回りに移動するので、それぞれのコンデンサーの上の極板に正電荷、下の極板に負電荷が蓄えられます。点Cの電位を０とすると、点Aの電位は$V$、点Bの電位は$v_{1}+v_{2}$となります。$q_{1}$や$q_{2}$の電気量が小さいとき、$v_{1}$や$v_{2}$も小さいため、$V> v_{1}+v_{2}$となります。よって、抵抗には電圧がかかるため、電流は流れるので、その電流をとすると、キルヒホッフの第２法則の式は$$V=RI+ v_{1}+v_{2}$$となります。

（Ⅲ）：十分時間がたち、$V=V_{1}+V_{2}$が成り立つと、点Aと点Bが等電位となるため、回路に流れる電流が０になります（定常状態）。このとき、$$\mathrm{キルヒホッフの第２法則}：V=V_{1}+V_{2}・・・①$$ $$\mathrm{電気量保存則}：-Q_{1}+Q_{2}=0\leftrightarrow -C_{1}V_{1}+C_{2}V_{2}=0・・・②$$となるので、①、②式を連立すると$V_{1}$、$V_{2}$、$Q_{1}$、$Q_{2}$が求められる。

（Ⅰ）：コンデンサーの電荷が０なので、抵抗にかかる電圧は電池の起電力に等しい。よって、このとき回路に流れる電流は$I_{0}=\frac{V}{R}$となります。

（Ⅱ）：回路に電流（正電荷）が流れ、各コンデンサーの上側極板には正電荷が、下側極板には負電荷が蓄えられます。このとき、電気容量$C_{2}$と$C_{3}$のコンデンサーは同じ導線でつながれているので、電圧は等しいことに気付けるようにしましょう。よって、回路のキルヒホッフの第２法則の式は、$$V=RI+v_{1}+v_{2}$$となります。

（Ⅲ）：十分時間がたち、$V=V_{1}+V_{2}$となると、抵抗の電圧が０になり、流れる電流が０になります。このとき、$$\mathrm{キルヒホッフの第２法則}：V=V_{1}+V_{2}・・・①$$ $$\mathrm{電気量保存則}：-Q_{1}+ Q_{2}+ Q_{3}=0 \leftrightarrow -C_{1}V_{1}+ C_{2}V_{2}+ C_{3}V_{3}=0・・・②$$の２式が成り立ち、①、②を解くと$V_{1}$、$V_{2}$、$Q_{1}$、$Q_{2}$、$Q_{3}$が求まります。

（Ⅰ）：電気量$Q=CV_{1}$が蓄えられたコンデンサーを電気量０のコンデンサーに接続した直後は、$C_{1}$のコンデンサーの電圧$V$に等しい電圧が抵抗にかかるため、回路には時計回りに$I_{0}=\frac{V}{R}$の電流が流れる。

（Ⅱ）：流れる電流の向きから、電気容量$C_{2}$のコンデンサーの上側極板に正電荷が蓄えられ、下側極板に負電荷が蓄えられる。ある時刻に、$q_{1}$の電気量が時計回りに移動したとする。$q_{1}$が小さいとき$v_{1}>v_{2}$となり、点Aの方が点Bより電位が高くなるので、回路に電流が流れる。

（Ⅲ）：十分時間がたつと、$q_{1}$の値が大きくなり、$v_{1}=v_{2}=V´$となると抵抗の両端が等電位となり、回路に流れる電流が０になる（定常状態）。このとき、$$電気量保存則：Q_{1}+Q_{2}=Q$$ $$\leftrightarrow C_{1}V´+C_{2}V´=C_{1}V$$ $$\therefore V´=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}V$$となります。