【高校物理】コンデンサーの解き方で1番わかりやすい方法を徹底解説！

コンデンサーの極板に着目した問題で使う公式

①：$C=\epsilon \frac{S}{d}={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}$

②：$Q=CV$

③：$E=\frac{\epsilon S}{Q}=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_{0}S}{Q}$

④：$V=Ed$

《極板に着目した問題の解法》

Step1：$C=\epsilon \frac{S}{d}={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}$を用いて電気容量を求めよう。

Step2：スイッチが開いているのか、閉じているのかを確認しよう。

<パターン①>スイッチが開いたままの変化

⇒電気量$Q$が一定。

<パターン②>スイッチが閉じたまま

⇒極板間電圧$V$が一定。

Step3：極板間の電場を求める。

<パターン①>スイッチが開いたままの変化

⇒電気量$Q$が一定なので$E=\frac{\epsilon S}{Q}=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_{0}S}{Q}$を用いる。

<パターン②>スイッチが閉じたまま

⇒極板間電圧$V$が一定なので$V=Ed$を用いる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_0$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、スイッチを開き（図２）、極板間隔を$d$から$2d$に広げた（図３）。次の問いに答えよ。

（１）図３において、コンデンサーの電気容量$C_1$を$C_0$を用いて求めよ。

（２）図３において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_1$を$C_0$、$V$を用いて求めよ。

（３）図３において、コンデンサーの極板間電圧$V_1$を$V$を用いて求めよ。

（４）図３において、コンデンサーの極板間電場$E_1$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図２の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を${\epsilon }_0$とすると、$$C_0={\epsilon }_0\frac{S}{d}$$となる。図２の電気量、電場をそれぞれ$Q_0$、$E_0$とすると、$$Q_0=C_{0}V$$ $$E_0=\frac{V}{d}=\frac{Q_0}{{\epsilon }_{0}S}$$となる

（１）$C=\epsilon \frac{S}{d}={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}$より、$$C_1={\epsilon }_0\frac{S}{2d}=\underset{―}{\frac{C_0}{2}}$$

（２）スイッチが開かれているので、コンデンサーに蓄えられた電気量は保存されるため、$Q_0$のままである。よって、$Q_1=Q_0=\underset{―}{C_{0}V}$

（３）コンデンサーの電荷が$Q_0$で一定なので$Q=CV$を用いて、$$Q_0=C_1{V}_1=C_{0}V$$

$$\therefore V_1=\frac{C_0}{C_1}V=\underset{―}{2V}$$となる。

（４）コンデンサーの電荷が$Q_0$で一定で、極板間の誘電率も${\epsilon }_0$で一定なので、$E=\frac{Q}{\epsilon S}$より、電場$E_1$は$E_0$に等しい。よって、$$E_1=E_0=\underset{―}{\frac{V}{d}}$$

となる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_0$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、図２のように極板間隔を$d$から$2d$に広げた。次の問いに答えよ。

（１）図２において、コンデンサーの電気容量$C_2$を$C_0$を用いて求めよ。

（２）図２において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_2$を$C_0$、$V$を用いて求めよ。

（３）図２において、コンデンサーの極板間電圧$V_2$を$V$を用いて求めよ。

（４）図２において、コンデンサーの極板間電場$E_2$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図１の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を${\epsilon }_0$とすると、$$C_0={\epsilon }_0\frac{S}{d}$$となる。図１の電気量、電場をそれぞれ$Q_0$、$E_0$とすると、$$Q_0=C_{0}V$$ $$E_0=\frac{V}{d}=\frac{Q_0}{{\epsilon }_{0}S}$$となる。

（１）$C=\epsilon \frac{S}{d}={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}$より、$$C_2={\epsilon }_0\frac{S}{2d}=\underset{―}{\frac{C_0}{2}}$$

（２）スイッチが閉じているので、コンデンサーにかかる電圧は$V$で一定のままである。よって、$Q_2=C_2{V}_2=\underset{―}{\frac{1}{2}{C}_0}V$

（３）スイッチが閉じたままなので、コンデンサーの極板間の電圧は変化しない。よって、$$V_2=\underset{―}{V}$$となる。

（４）コンデンサーの極板間電圧が$V$で変化しないので、$V=Ed$を用いると、$$E_2=\underset{―}{\frac{V}{2d}}$$となる。

【（４）の別解】

$E=\frac{{\epsilon }_{0}S}{Q}$より$$E_2=\frac{Q_2}{{\epsilon }_{0}S}$$となるので、$Q_2$と$C_0={\epsilon }_0\frac{S}{d}$を用いて、$$E_2=\frac{\frac{1}{2}{C}_{0}V}{C_{0}d}=\underset{―}{\frac{V}{2d}}$$とすることもできる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_0$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、スイッチを開き（図２）、極板間に比誘電率が${\epsilon }_{\mathrm{r}}$の誘電体を満たした（図３）。次の問いに答えよ。

（１）図３において、コンデンサーの電気容量$C_3$を$C_0$を用いて求めよ。

（２）図３において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_3$を$C_0$、$V$を用いて求めよ。

（３）図３において、コンデンサーの極板間電圧$V_3$を$V$を用いて求めよ。

（４）図３において、コンデンサーの極板間電場$E_3$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図２の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を${\epsilon }_0$とすると、$$C_0={\epsilon }_0\frac{S}{d}$$となる。図２の電気量、電場をそれぞれ$Q_0$、$E_0$とすると、$$Q_0=C_{0}V$$ $$E_0=\frac{V}{d}=\frac{Q_0}{{\epsilon }_{0}S}$$となる

（１）$C=\epsilon \frac{S}{d}={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}$より、$$C_3={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}=\underset{―}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{C}_0}$$

（２）スイッチが開かれているので、コンデンサーに蓄えられた電気量は保存されるため、$Q_0$のままである。よって、$Q_3=Q_0=\underset{―}{C_{0}V}$

（３）コンデンサーの電荷が$Q_0$で一定なので$Q=CV$を用いて、$$Q_0=C_3{V}_3=C_{0}V$$ $$\therefore V_3=\frac{C_0}{C_3}V=\underset{―}{\frac{V}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}}}$$となる。

（４）コンデンサーの電荷が$Q_0$で一定で、極板間の誘電率は${\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0$となるので、$E=\frac{Q}{\epsilon S}$より、$$E_3=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_{0}S}{Q_0}=\frac{E_0}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}}=\underset{―}{\frac{V}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}d}}$$

となる。

《問題》

図１のように極板間隔$d$、電気容量$C_0$のコンデンサーに起電力$V$の電池を接続し、十分時間がたったとする。その後、極板間に比誘電率が${\epsilon }_{\mathrm{r}}$の誘電体を満たした（図３）。次の問いに答えよ。

（１）図２において、コンデンサーの電気容量$C_4$を$C_0$を用いて求めよ。

（２）図２において、コンデンサーに蓄えられる電気量$Q_4$を$C_0$、$V$を用いて求めよ。

（３）図２において、コンデンサーの極板間電圧$V_4$を$V$を用いて求めよ。

（４）図２において、コンデンサーの極板間電場$E_4$を$V$、$d$を用いて求めよ。

《解答》

図１の極板間電圧は電池の起電力に等しい。また、極板の面積を$S$、真空の誘電率を${\epsilon }_0$とすると、$$C_0={\epsilon }_0\frac{S}{d}$$となる。図１の電気量、電場をそれぞれ$Q_0$、$E_0$とすると、$$Q_0=C_{0}V$$ $$E_0=\frac{V}{d}=\frac{Q_0}{{\epsilon }_{0}S}$$となる。

（１）$C=\epsilon \frac{S}{d}={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}$より、$$C_4={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{S}{d}=\underset{―}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{C}_0}$$

（２）スイッチが閉じているので、コンデンサーにかかる電圧は$V$で一定のままである。よって、$Q_4=C_4{V}_4=\underset{―}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{C}_{0}V}$

（３）スイッチが閉じたままなので、コンデンサーの極板間の電圧は変化しない。よって、$$V_4=\underset{―}{V}$$となる。

（４）コンデンサーの極板間電圧が$V$で変化しないので、$V=Ed$を用いると、$$E_4=\underset{―}{\frac{V}{d}}$$となる。

【（４）の別解】

$E=\frac{{\epsilon }_{0}S}{Q}$より$$E_4=\frac{Q_4}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_{0}S}$$となるので、$Q_4$と$C_0={\epsilon }_0\frac{S}{d}$を用いて、$$E_4=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{C}_{0}V}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{C}_{0}d}=\underset{―}{\frac{V}{d}}$$として求めることもできる。

《キルヒホッフの第２法則》

着目した閉回路において（起電力の和）＝（電圧の和）が成り立つ。

《約束①》電池の起電力は電圧が上がる向きを正とする。

《約束②》抵抗やコンデンサーは電圧が下がる向きを正とする。

《使い方》

Step①：回路に電流をテキトーに設定する。

Step②：抵抗には①で決めた電流の向きに電圧の矢印を書き、コンデンサーには正電荷から負電荷の向きに電圧の矢印を書く。

Step③：①の閉回路を回る向きを決め、その向きと同じ向きの電池を正、逆向きん電池を負として左辺に起電力の和を書き、抵抗やコンデンサーも閉回路を回る向きに対して同じ電圧の矢印を正、逆向きを負として電圧の和を書く。

《具体例①》

上図のように起電力が$E_1$と$E_2$の電池と抵抗値が$R_1$、$R_2$、$R_3$の抵抗を導線で接続した。このとき、各抵抗を流れる電流をStep①～③に沿って求めてみよう。

Step①：上図のように電流$I_1$～$I_3$をテキトーに設定します。本当にテキトーでいいです(笑)

Step②：抵抗にかかる電圧の矢印は、①で決めた電流の方向に設定する。

Step③：閉回路を決め、キルヒホッフの第２法則の式を立てる。

閉回路abefa：$+E_1-E_2=+R_1{I}_1+R_2{I}_2$

閉回路ebcde:$+E_2=-R_2{I}_2+R_3{I}_3$

閉回路acdfa:$+E_1=+R_1{I}_1+R_3{I}_3$

《具体例②》

上図のように起電力が$E_1$と$E_2$の電池と抵抗値が$R_1$、$R_2$、$R_3$の抵抗、電気容量$C$のコンデンサーを導線で接続して十分時間がたった。このとき、各抵抗を流れる電流をStep①～③に沿って求めてみよう。

まず前提として、十分時間がたつとコンデンサーに電流は流れないので、$R_3$に流れる電流は０になります。

よって、電流が流れるのは閉回路abefaだけです。

Step①：上図のように電流$I_1$をテキトーに設定します。

Step②：抵抗にかかる電圧の矢印は、①で決めた電流の方向に設定する。また、コンデンサーには左側の極板に正電荷、右側の極板に負電荷が蓄えられるので、cからdの向きに電圧の矢印を書きます。

Step③：閉回路を決め、キルヒホッフの第２法則の式を立てる。

閉回路abefa：$+E_1-E_2=+R_1{I}_1+R_2{I}_1$

閉回路ebcde:$+E_2=-R_2{I}_1+V$

閉回路acdfa:$+E_1=+R_1{I}_1+V$

（Ⅰ）：スイッチSを閉じた直後はコンデンサーの電荷は０なので、コンデンサーの電圧も０です。よって、回路には時計回りに、$$I_0=\frac{V}{R}$$となる電流が流れ、コンデンサーの上の極板に正電荷, 下の極板に負電荷が溜まり始めます。（このとき, コンデンサーの下の極板から正電荷が移動したので, 下の極板は負に帯電し, 上の極板には正電荷が回ってくるので, 正に帯電すると考えればいいです。）

（Ⅱ）：コンデンサーに電荷が溜まってくると、コンデンサーの極板間に電圧が生じます。ただし、コンデンサーに蓄えられる電気量$q$が小さいとコンデンサーの極板間電圧$v$も小さいです。ここで、点Cを電位0とすると、点Aの電位は$V$、Bの電位は$v$となります。よって、抵抗$R$には$V-v(>0)$の電圧がかかるため、回路にはまだ電流が流れています。このとき、キルヒホッフの第２法則の式は, $$V=RI+v$$となることがわかりますね。

そして、時間がたつと$q$が大きくなり、$Q=CV(v=V)$になったときに、抵抗の電圧が０になり、回路に流れる電流が０（定常状態）になります。これが（Ⅲ）の図です。

（Ⅰ）：コンデンサー２つに蓄えられている電気量は０なので、抵抗には電池の起電力に等しい電圧がかかっています。よって、このとき回路には時計回りに$I_0=\frac{V}{R}$の電流が流れています。

（Ⅱ）：正の電荷が時計回りに移動するので、それぞれのコンデンサーの上の極板に正電荷、下の極板に負電荷が蓄えられます。点Cの電位を０とすると、点Aの電位は$V$、点Bの電位は$v_1+v_2$となります。$q_1$や$q_2$の電気量が小さいとき、$v_1$や$v_2$も小さいため、$V>v_1+v_2$となります。よって、抵抗には電圧がかかるため、電流は流れるので、その電流をとすると、キルヒホッフの第２法則の式は$$V=RI+v_1+v_2$$となります。

（Ⅲ）：十分時間がたち、$V=V_1+V_2$が成り立つと、点Aと点Bが等電位となるため、回路に流れる電流が０になります（定常状態）。このとき、$$\mathrm{キ}\mathrm{ル}\mathrm{ヒ}\mathrm{ホ}\mathrm{ッ}\mathrm{フ}\mathrm{の}\mathrm{第}\mathrm{２}\mathrm{法}\mathrm{則}：V=V_1+V_2\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{①}$$ $$\mathrm{電}\mathrm{気}\mathrm{量}\mathrm{保}\mathrm{存}\mathrm{則}：-Q_1+Q_2=0\leftrightarrow -C_1{V}_1+C_2{V}_2=0\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{②}$$となるので、①、②式を連立すると$V_1$、$V_2$、$Q_1$、$Q_2$が求められる。

（Ⅰ）：コンデンサーの電荷が０なので、抵抗にかかる電圧は電池の起電力に等しい。よって、このとき回路に流れる電流は$I_0=\frac{V}{R}$となります。

（Ⅱ）：回路に電流（正電荷）が流れ、各コンデンサーの上側極板には正電荷が、下側極板には負電荷が蓄えられます。このとき、電気容量$C_2$と$C_3$のコンデンサーは同じ導線でつながれているので、電圧は等しいことに気付けるようにしましょう。よって、回路のキルヒホッフの第２法則の式は、$$V=RI+v_1+v_2$$となります。

（Ⅲ）：十分時間がたち、$V=V_1+V_2$となると、抵抗の電圧が０になり、流れる電流が０になります。このとき、$$\mathrm{キ}\mathrm{ル}\mathrm{ヒ}\mathrm{ホ}\mathrm{ッ}\mathrm{フ}\mathrm{の}\mathrm{第}\mathrm{２}\mathrm{法}\mathrm{則}：V=V_1+V_2\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{①}$$ $$\mathrm{電}\mathrm{気}\mathrm{量}\mathrm{保}\mathrm{存}\mathrm{則}：-Q_1+Q_2+Q_3=0\leftrightarrow -C_1{V}_1+C_2{V}_2+C_3{V}_3=0\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{②}$$の２式が成り立ち、①、②を解くと$V_1$、$V_2$、$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$が求まります。

（Ⅰ）：電気量$Q=C{V}_1$が蓄えられたコンデンサーを電気量０のコンデンサーに接続した直後は、$C_1$のコンデンサーの電圧$V$に等しい電圧が抵抗にかかるため、回路には時計回りに$I_0=\frac{V}{R}$の電流が流れる。

（Ⅱ）：流れる電流の向きから、電気容量$C_2$のコンデンサーの上側極板に正電荷が蓄えられ、下側極板に負電荷が蓄えられる。ある時刻に、$q_1$の電気量が時計回りに移動したとする。$q_1$が小さいとき$v_1>v_2$となり、点Aの方が点Bより電位が高くなるので、回路に電流が流れる。

（Ⅲ）：十分時間がたつと、$q_1$の値が大きくなり、$v_1=v_2=V´$となると抵抗の両端が等電位となり、回路に流れる電流が０になる（定常状態）。このとき、$$\mathrm{電}\mathrm{気}\mathrm{量}\mathrm{保}\mathrm{存}\mathrm{則}：Q_1+Q_2=Q$$ $$\leftrightarrow C_{1}V´+C_{2}V´=C_{1}V$$ $$\therefore V´=\frac{C_1}{C_1+C_2}V$$となります。